Definisi pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara nilainya. salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu : < , > , ≤ dan ≥ .

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2

Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1

Penyelesaian:

Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan

Contoh:

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2

Penyelesaian:

Ruas kanan dibuat menjadi nol
Faktorkan
Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7

4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7

4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x2 + 4x + 5 ≥ 0

–(x2 – 4x – 5) ≥ 0

–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2

Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat

Contoh:

(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0

(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3

Garis bilangan:

menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut

Penyelesaian:

Ruas kanan dijadikan nol
Samakan penyebut di ruas kiri
Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0

–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan:

→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

Contoh 2:

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2 atau x = –1

Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:

D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3

Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real

(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar

Penyelesaian:

Kuadratkan kedua ruas
Jadikan ruas kanan sama dengan nol
Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas:

x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2

x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0

–2x – 8 < 0

Semua dikali –1:

2x + 8 > 0

2x > –8

x > –4

Syarat 1:

x2 – 5x – 6 ≥ 0

(x – 6).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0

x = 6 atau x = –1

Syarat 2:

x2 – 3x + 2 ≥ 0

(x – 2).(x – 1) ≥ 0

Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0

x = 2 atau x = 1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Contoh 2:

Kuadratkan kedua ruas:

x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4

x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0

–2x + 4 < 0

–2x < –4

Semua dikalikan –1

2x > 4

x > 2

Syarat:

x2 – 6x + 8 ≥ 0

(x – 4).(x – 2) ≥ 0

Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0

x = 4 atau x = 2

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |

(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)

Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:

Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0

Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:

|2x – 3| ≤ 5

berarti:

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5

–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3

–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua dibagi 2:

–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:

|3x + 7| > 2

berarti:

3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2

3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7

x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:

|2x – 5| < |x + 4|

Kedua ruas dikuadratkan:

(2x – 5)2 < (x + 4)2

(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0

(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))

(3x – 1).(x – 9) < 0

Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0

x = 1/3 atau x = 9

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

Contoh 4:

|4x – 3| ≥ x + 1

Kedua ruas dikuadratkan:

(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2

(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0

(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0

(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0

Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0

x = 2/5 atau x = 4/3

Syarat:

x + 1 ≥ 0

x ≥ –1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}

Contoh 5:

|x – 2|2 – |x – 2| < 2

Misalkan |x – 2| = y

y2 – y < 2

y2 – y – 2 < 0

(y – 2).(y + 1) < 0

Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0

y = 2 atau y = –1

Garis bilangan:

Artinya:

–1 < y < 2

–1 < |x – 2| < 2

Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku

|x – 2| < 2

Sehingga:

–2 < x – 2 < 2

–2 + 2 < x < 2 + 2

0 < x < 4

Bilangan Real

Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan

{\sqrt {2}}

. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Sifat-sifat operasi Bilangan Real

Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap $a,b,c, r in$

, beralaku sifat-sifat berikut ;

Penjumlahan :

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

$a+b=r$

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

$a+b=b+a$

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

$(a+b)+c = a+(b+c)$

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

$a+0 = 0+a = a$

6. Sifat invers pada penjumlahan

$a+(-a)=(-a)+a=0$

Perkalian :

1. Sifat tertutup pada perkalian

$a times b = r$

2. Sifat komutatif pada perkalian

$a times b = btimes a$

3. Sifat asosiatif pada perkalian

$(atimes b) times c = atimes (btimes c )$

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

$atimes 1 = 1times a = a$

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk

)

(tidak ada/tidak didefinisikan).

Sifat-sifat bilangan real

Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma (yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya) berikut. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xymerupakan perkalian. Maka:

Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut:

Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus
Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.